关于转动惯量的一些推导

关于在机械传动计算中转动惯量、转矩以及质量转换为转动惯量的推导

1.转矩与功率/做功的关系

传动件与被传动件两处不计传动和摩擦损失时，两侧功率：

$$P_1=P_2$$

当为丝杆传动时：

$$T×ω=F×v$$

传动件与被传动在同一传动链上，两侧时间 t 一致，根据机械能守恒：

$$E_1=E_2$$

$$T×2π=F×PB$$

$$T=F×(P_B/2π)$$

功率与转速和转矩关系：

$$P=Tω$$

$$P=T×(n×2π/60)$$

上式的常见形式：

$$T=9.550×P/n$$

n：转速 r/nin ; ω：角速度 rad/s

2.当多级传动时

一级传动后：

$$V_r1=V_r2$$

$$F_r1=F_r2$$

V_r:线速度，F_r:圆周力；上述传动前后线速度、驱动力相等。

$$i=n_1/n_2 =ω_1/ω_2 = α_1/α_2$$

$$T_1×i=T_2$$

加速转矩：

$$T=J×α$$

J：转动惯量，α：角加速度。

丝杆传动时移动物体的转动惯量折算至丝杆的转动惯量J_T （等效负载惯量）:

$$J_T ω^2/2=mV^2/2$$

传动件与被传动在同一传动链上，两侧时间 t 一致，根据机械能守恒：

$$J_T (2π)^2/2=mP_B^2/2$$

$$J_T=m(P_B/2π)^2 ==> (J_T=m(V/ω)^2=m(a/α)^2)$$

传动中其他轴转动惯量折算至某一轴（一般为电机轴）的转动惯量J_1′ （此处为2轴折算到1轴上的转动惯量，并非1轴本身的惯量）:

$$T_1′=J_1′×α_1=T_2/i=(J_2×α_2)/i , α_1/i=α_2$$

$$J_1′×α_1=(J_2×(α_1/i))/i=(J_2×α_1)/(i×i)$$

$$J_1′=J_2/i^2$$

总转动惯量J（此处仅对应1级传动）：

$$J=J_1+J_1′+J_T=J_1+(J_2+J_T)/i^2$$

电机所需要的加速转矩T_a

$$T_a=T_L+(J+J_m )×α$$

J_m:电机转子转动惯量

END